Una ecuación cúbica a la cual le falta el término cuadrático, se llamará ecuación reducida, y puede expresarse de la forma:
\[ \begin{equation} \label{cub:eq1} y^3 - 3ay - 2b = 0 \end{equation} \]
Toda ecuación cúbica en forma general, es decir, de la forma:
\[ \begin{equation} \label{cub:eq2} x^3 + cx^2 + dx + e = 0 \end{equation} \]
se puede expresar en forma reducida sustituyendo la variable \( x\) por otra variable aumentada en el tercio del coeficiente del término cuadrático, tomado con signo opuesto.
Es decir:
\[ \displaystyle { x = y - \frac{c}{3} } \]
Sustituyendo en \eqref{cub:eq2} se obtiene:
\[ \displaystyle { \left (y - \frac{c}{3} \right )^3 + c \left (y - \frac{c}{3} \right )^2 + d \left (y - \frac{c}{3} \right ) + e = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 - cy^2 + \frac{c^2y}{3} - \frac{c^3}{27} + cy^2 - \frac{2c^2y}{3} + \frac {c^3}{9} + dy - \frac{dc}{3} + e = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 + dy - \frac{c^2y}{3} + \frac{2c^3}{27} - \frac{dc}{3} + e = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 + \left (d - \frac{c^2}{3} \right )y + \left (\frac{2c^3}{27} - \frac{dc}{3} + e \right ) = 0 } \]
Sean
\[ \displaystyle { -3a = \left ( d - \frac{c^2}{3} \right ) } \]
\[ \displaystyle { -2b = \left ( \frac{2c^3}{27} - \frac{dc}{3} + e \right ) } \]
la ecuación queda reducida a la forma de \eqref{cub:eq1}.
Para resolver ecuaciones cúbicas basta con:
- Saber resolver ecuaciones del tipo \eqref{cub:eq1}.
- Tener una buena calculadora.
- Saber que las raíces cúbicas de la unidad son:
\[ \epsilon_1 = 1 \]
\[ \epsilon_2 = \displaystyle \frac { -1 - \sqrt{3}i}{2} \]
\[ \epsilon_3 = \displaystyle \frac { -1 + \sqrt{3}i}{2} \]
y que \( \epsilon_2 \cdot \epsilon_3 = 1\).
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Resolución de las ecuaciones cúbicas reducidas
Regresamos a la ecuación de tipo \eqref{cub:eq1}:
\[ y^3 - 3ay - 2b = 0 \]
Sea \( \displaystyle { y = p + \frac{a}{p} }\), entonces:
\[ \displaystyle { y^3 = p^3 + 3ap + \frac{3a^2}{p} + \frac{a^3}{p^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 - 3ay = p^3 + 3ap + \frac{3a^2}{p} + \frac{a^3}{p^3} - 3a \left ( p + \frac{a}{p} \right ) } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 - 3ay = p^3 + 3ap + \frac{3a^2}{p} + \frac{a^3}{p^3} - 3a - 3ap - \frac{3a^2}{p} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 - 3ay = p^3 + \frac{a^3}{p^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { y^3 - 3ay - 2b = p^3 - 2b + \frac{a^3}{p^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p^3 - 2b + \frac{a^3}{p^3} = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { (p^3)^2 - 2b(p^3) + a^3 = 0 } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p^3 = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 4a^3}}{2} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p^3 = b \pm \sqrt{b^2 - a^3} } \]
\[ \Rightarrow \displaystyle { p = \epsilon \sqrt[3]{ b \pm \sqrt{b^2 – a^3} } } \]
donde \( \epsilon \) representa las tres raíces cúbicas de la unidad, \( \epsilon_1 \) \( \epsilon_2 \) y \( \epsilon_3 \).
Para calcular
\[ \displaystyle { \frac{a}{p} = \frac{a}{\epsilon \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } } } \]
basta multiplicar ambos términos de la fracción por \( \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } \), entonces:
\[ \displaystyle { \frac{a}{p} = \frac{1}{\epsilon} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
por consiguiente:
\[ \displaystyle { y = p + \frac{a}{p} = \epsilon \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \frac{1}{\epsilon} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
Por tanto las raíces de y son:
\[ \displaystyle { y = \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y = \epsilon_2 \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \frac{1}{\epsilon_2} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y = \epsilon_3 \sqrt[3]{b \pm \sqrt{b^2-a^3} } + \frac{1}{\epsilon_3} \sqrt[3]{b \mp \sqrt{b^2-a^3} } } \]
pero \( \epsilon_2 \cdot \epsilon_3 = 1\) por lo que podemos decir que:
\[ \displaystyle { y_1 = \sqrt[3]{b + \sqrt{b^2-a^3} } + \sqrt[3]{b – \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y_2 = \epsilon_2 \sqrt[3]{b + \sqrt{b^2-a^3} } + \epsilon_3 \sqrt[3]{b – \sqrt{b^2-a^3} } } \]
\[ \displaystyle { y_3 = \epsilon_3 \sqrt[3]{b + \sqrt{b^2-a^3} } + \epsilon_2 \sqrt[3]{b – \sqrt{b^2-a^3} } } \]
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Sustitución en la ecuación general
Finalmente, teniendo los valores de \( y\), sustituimos para conocer los valores de \( x\) en la ecuación \eqref{cub:eq2}:
\[ \displaystyle { x_1 = y_1 - \frac{c}{3} } \]
\[ \displaystyle { x_2 = y_2 - \frac{c}{3} } \]
\[ \displaystyle { x_3 = y_3 - \frac{c}{3} } \]
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Ejemplo
Resolver la ecuación \( x^3 – 3x^2 – 12x – 112 = 0 \).
Solución: Sea \( x = y + 1 \), entonces
\[ (y + 1)^3 - 3(y + 1)^2 - 12(y + 1) - 112 = 0 \]
\[ \Rightarrow y^3 - 15y - 126 = 0 \]
Con lo cual \( -3a = -15 \); \( -2b = -126 \); y despejando se tiene que \( a = 5 \); \( b = 63 \).
Entonces:
\[ \displaystyle { y_1 = \sqrt[3]{63 + \sqrt{3969-125} } + \sqrt[3]{63 – \sqrt{3969-125} } } \]
\[ \displaystyle { y_2 = \epsilon_2\sqrt[3]{63 + \sqrt{3969-125} } + \epsilon_3 \sqrt[3]{63 – \sqrt{3969-125} } } \]
\[ \displaystyle { y_3 = \epsilon_3 \sqrt[3]{63 + \sqrt{3969-125} } + \epsilon_2 \sqrt[3]{63 – \sqrt{3969-125} } } \]
Simplificando llegamos a que:
\[ y_1 = 6 \]
\[ \displaystyle { y_2 = 5\epsilon_2 + \epsilon_3 = \frac { -5 - 5\sqrt{3}i}{2} + \frac { -1 + \sqrt{3}i}{2} = -3 - 2\sqrt{3}i } \]
\[ \displaystyle { y_3 = 5\epsilon_3 + \epsilon_2 = \frac { -5 + 5\sqrt{3}i}{2} + \frac { -1 - \sqrt{3}i}{2} = -3 + 2 \sqrt{3}i } \]
Y sustituimos para obtener los valores de \( x\):
\[ x_1 = 7 \]
\[ \displaystyle { x_2 = -2 - 2\sqrt{3}i } \]
\[ \displaystyle { x_3 = -2 + 2\sqrt{3}i } \]
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Ejercicios propuestos
1. Resolver la ecuación \( x^3 – 3x^2 – 24x + 80 = 0\).
2. Resolver la ecuación \( x^3 – 7x + 6 = 0\).
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(Esta entrada participa la edición 2.3 de Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Los Matemáticos no son gente seria).
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